Композиция из цифр: Композиция из цифр «Дата»

Это оригинальная концепция и, насколько мне известно, не использовалась / не реализовывалась. Если вы можете показать мне композицию, созданную на основе этой концепции до 1 июня 2016 года, я предоставлю кредиты.

В качестве примера я буду использовать название этого блога: Roel’s World для расчетов. Для первой строки я использовал метод Пифагора, для второй строки — метод Халдея.

Про нумерологическую интерпретацию писать не буду. (значение суммы), об этом достаточно сайтов и блогов.

Как соотнести тоны с числами, соответствующими номерам, которым они принадлежат? В этом примере я буду использовать масштаб до мажор, но вы можете использовать любой масштаб, который у вас есть. Давайте «нанесем на карту» масштаб.

При использовании метода Пифагора мелодия будет развиваться следующим образом:

D — A — G — E — C G — A — D — E — F

При использовании халдейского метода мелодия будет развиваться как следующим образом:

D — B — G — E — E A — B — D — E — F

Вы можете превратить эти тона также в аккордовую последовательность, если хотите, в случае метода Пифагора последовательность аккордов может быть что-то вроде:

Dm — Am — G (7) — Em — C G (7) — Am — Bdim — Dm — Em — F

Другой вариант — дать каждому слову текста отдельный аккорд , основанный на тонах, связанных с буквами слов.Таким образом вы можете создать последовательность аккордов, совместимую со словами. В словах длиной более 5 или 6 букв можно разделить тона на два прогрессивных аккорда или использовать дополнительные тона для создания басовой линии или мелодии.

ROELS: C Major 6,9 (C-E-G-A-D) WORLD: D minor 9,11 (D-F-A-E-G)

Это всего лишь несколько различных идей для реализации этой концепции. Комбинация этих концепций также может быть вариантом, и, возможно, вы придумаете еще один способ ее реализации.

Вы любите читать что-нибудь о музыке и геометрии? Тогда ознакомьтесь со статьей «Музыка и геометрия».

Составление функций — ChiliMath

В этом уроке я рассмотрю восемь (8) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать процесс, участвующий в композиции функций.

Если нам даны две функции, можно создать или сгенерировать «новую» функцию, объединяя одну в другую. Этот шаг аналогичен, когда функция оценивается для данного значения.Например, оцените функцию ниже для x = 3.

Очевидно, что мне нужно заменить каждый x заданным значением, а затем упростить.

Ключевая идея в композиции функций состоит в том, что входом функции является , а не числовое значение, вместо этого вход также является другой функцией .

Общее правило композиции функции

Предположим, что две заданные функции — это f и g, состав f \ circ g определяется

Кроме того, состав g \ circ f определяется

Несколько замечаний о символической «формуле» над :

• Порядок в составе функций имеет значение! Вы всегда составляете функции справа налево .Следовательно, для данной функции вход всегда находится справа от нее. Другими словами, правая функция находится внутри левой функции.

• Обратите внимание, что в f \ circ g = f \ left [{g \ left (x \ right)} \ right] входной или «внутренней функцией» является функция g, потому что она находится справа от функции f, которая является основная или «внешняя функция».

• Что касается порядка композиции, видите ли вы тот же узор в g \ circ f = g \ left [{f \ left (x \ right)} \ right]? Верно! Функция f является внутренней функцией внешней функции g.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как работает композиция функций. Позже вы поймете, что это просто упражнение по алгебраической подстановке и упрощению.

Примеры компоновки функций

Пример 1 : Выполните указанную композицию функций:

Порядок композиции важен. Обратите внимание, что в f \ circ g мы хотим, чтобы функция g \ left (x \ right) была входом основной функции {f \ left (x \ right)}.

Это должно выглядеть так:

Я начинаю с записи основной или внешней функции f \ left (x \ right), и в каждом экземпляре x я заменяю полное значение g \ left (x \ right ).

Затем я сделаю все необходимое, чтобы упростить выражения, например возведение бинома в квадрат, применение свойства распределения и объединение подобных терминов. Кроме этого, в этом нет ничего особенного.

Позвольте мне показать вам, что я имел в виду под этим.

Пример 2 : Выполните указанную композицию функций:

Мне нужно найти составную функцию g \ circ f, что означает, что функция f является входом функции g.

Пример 3 : Выполните указанную композицию функций:

Это пример композиции функций, где входом является функция квадратного корня . Посмотрим, как это работает.

Опять же, в f \ circ g мы хотим вставить функцию g в функцию f.

Пример 4 : Выполните указанную композицию функций:

Эта композиция функций весьма интересна. Я надеюсь, вы видите, что у нас будет ситуация, когда функция извлечения квадратного корня входит в другую функцию извлечения квадратного корня.{{1 \ over 2}}}.

Пример 5 : Выполните указанную композицию функций:

До сих пор в наших предыдущих примерах мы выполняли композиции функций, используя две различные функции. Однако также возможно составить функцию с самой собой.

Пример 6 : Выполните указанную композицию функций:

Давайте разработаем пример композиции функции, которая имеет дело с рациональными функциями. Используемая алгебра немного утомительна, однако с вами все будет в порядке, если вы будете осторожны в упрощении выражений на каждом этапе пути.

В этом примере вы примените процедуры, как складывать или вычитать рациональные выражения, а также как умножать рациональные выражения.

Ну вот …

Это было неплохо, правда?

Пример 7 : Выполните указанную композицию функций:

Если вы думаете, что наш последний пример композиции рациональных функций был беспорядочным, подождите, пока вы не увидите следующий пример. Это может быть немного сложнее, но все же очень управляемо. Так что не волнуйтесь! Всегда имейте этот «лазерный» фокус в каждом процессе упрощения, чтобы успешно решить эту проблему.

Входная функция f будет подставлена ​​в каждый x основной функции g.

Это было легко, не правда ли? 😀

Для большей практики я предлагаю вам попробовать изменить порядок композиции функций на обратный. Другими словами, найдите f \ circ g.

У вас тоже получится?

Если это так, когда g \ circ f = f \ circ g = x, то мы заключаем, что функции g и f являются обратными друг другу. У меня есть отдельное руководство о том, как доказать или проверить, являются ли две функции обратными друг другу.

Пример 8 : Найдите составную функцию:

В этом примере мы собираемся составить три функции. Соблюдая обозначения искомой составной функции f \ circ g \ circ h, мы собираемся вычислить ее от справа налево до .

Сначала мне нужно вставить функцию h в функцию g, а затем упростить, чтобы получить новую функцию.

Результат предыдущего шага будет подставлен в основную функцию f для получения окончательного ответа.2} + 1}}}} становится входом функции f

Практика с рабочими листами

1.4: Состав функций — математика LibreTexts

Навыки для развития

• Объедините функции, используя алгебраические операции, чтобы создать новую функцию.
• Создать новую функцию путем композиции функций.
• Оценивать составные функции.
• Найдите область определения составной функции.
• Разложите составную функцию на ее составные функции.

Предположим, мы хотим подсчитать, сколько стоит отапливать дом в определенный день года. Стоимость отопления дома будет зависеть от средней дневной температуры, а средняя дневная температура, в свою очередь, зависит от конкретного дня в году. Обратите внимание, как мы только что определили два отношения: стоимость зависит от температуры, а температура зависит от дня.

Используя описательные переменные, мы можем записать эти две функции. Функция \ (C (T) \) дает стоимость \ (C \) отопления дома для данной средней дневной температуры в \ (T \) градусах Цельсия.Функция \ (T (d) \) дает среднюю дневную температуру в день d года. Для любого дня \ (Cost = C (T (d)) \) означает, что стоимость зависит от температуры, которая, в свою очередь, зависит от дня в году. Таким образом, мы можем оценить функцию стоимости при температуре \ (T (d) \). Например, мы могли бы вычислить \ (T (5) \), чтобы определить среднесуточную температуру на 5-й день года. Затем мы могли бы оценить функцию стоимости при этой температуре. Мы бы написали \ (C (T (5)) \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Объяснение \ (C (T (5)) \), которое представляет собой стоимость температуры, а \ (T (5) \) — температуру в день 5.

Объединив эти два отношения в одну функцию, мы выполнили композицию функций, которой и посвящен этот раздел.

Объединение функций с помощью алгебраических операций

Композиция функций — это только один из способов объединения существующих функций. Другой способ — выполнять обычные алгебраические операции над функциями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Мы делаем это, выполняя операции с выходами функции, определяя результат как выход нашей новой функции.

Предположим, нам нужно сложить два столбца чисел, которые представляют раздельные годовые доходы мужа и жены за период лет, в результате чего получится их общий семейный доход. Мы хотим делать это для каждого года, добавляя только доходы за этот год, а затем собирая все данные в новом столбце. Если \ (w (y) \) — доход жены, а \ (h (y) \) — доход мужа в году \ (y \), и мы хотим, чтобы \ (T \) представлял общий доход, тогда мы может определить новую функцию.

\ [T (y) = h (y) + w (y) \ nonumber \]

Если это верно для каждого года, то мы можем сосредоточиться на связи между функциями без привязки к году и написать

\ [T = h + w \ nonumber \]

Так же, как для этой суммы двух функций, мы можем определить функции разности, произведения и отношения для любой пары функций, которые имеют одинаковые типы входов (не обязательно числа), а также одинаковые виды выходов (которые должны быть числа, так что обычные операции алгебры могут применяться к ним, и которые также должны иметь те же единицы или не иметь единиц, когда мы складываем и вычитаем). 2−1 \).2−1} {x − 1} \\ [5pt] & = \ dfrac {(x + 1) (x − 1)} {x − 1} \\ [5pt] & = x-1 \ end {align * } \]

Нет, функции разные.

Примечание. Для \ (\ left (\ dfrac {g} {f} \ right) (x) \) условие \ (x \ neq1 \) необходимо, потому что, когда \ (x = 1 \), знаменатель равно 0, что делает функцию неопределенной. Таким образом, область определения \ (\ frac {g} {f} \) равна \ (D = \ {x \; | \; x \ neq 1 \} \).

Примечание : Как вы думаете, как будет выглядеть график \ (\ frac {g} {f} \)? Передайте этот график своему инструктору вместе с объяснением причин, по которым вы хотите получить Extra Credit.2, \) или \ (x (1-x) \)

Нет, функции разные.

Создание функции с помощью композиции функций

Новые функции также могут быть созданы путем составления функций. Когда мы хотели вычислить затраты на отопление для одного дня в году, мы создали новую функцию, которая принимает день в качестве входных данных и дает стоимость в качестве выходных данных. Процесс комбинирования функций, при котором выход одной функции становится входом другой, известен как композиция функций .Результирующая функция известна как составная функция . Представим эту комбинацию следующими обозначениями:

\ [е {\ circ} g (x) = f (g (x)) \ nonumber \]

Мы читаем левую часть как «\ (f \), составленную из \ (g \) в \ (x \)», а правую часть как «\ (f \) из \ (g \) из \(Икс\).» Две части уравнения имеют одинаковый математический смысл и равны. Символ открытого круга \ (\ circ \) называется оператором композиции. Мы используем этот оператор в основном, когда хотим подчеркнуть взаимосвязь между самими функциями, не обращаясь к какому-либо конкретному входному значению.Композиция — это двоичная операция, которая принимает две функции и формирует новую функцию, подобно тому, как сложение или умножение принимает два числа и дает новое число. Однако важно не путать композицию функций с умножением, потому что, как мы увидим, в большинстве случаев \ (f (g (x)) {\ neq} f (x) g (x) \). 2 + 2 \ end {align *} \]

Эти выражения не равны для всех значений \ (x \), поэтому две функции не равны.Хотя выражения совпадают для единственного входного значения \ (x = — \ frac {1} {2} \), это не имеет значения.

Дополнительный балл : Учитывая формулы для каждой составной функции, покажите, как найти все \ (x \) — значения, которые уравнивают функции, и передайте свою работу своему преподавателю.

Состав функций

Когда вывод одной функции используется как ввод другой, мы называем всю операцию композицией функций.Для любого ввода \ (x \) и функций \ (f \) и \ (g \) это действие определяет составную функцию , которую мы записываем как \ (f {\ circ} g \), такую, что

\ [(е {\ circ} g) (x) = f (g (x)) \ nonumber \]

Область определения составной функции \ (f {\ circ} g \) — это все \ (x \) такие, что \ (x \) находится в области значений \ (g \) и \ (g (x) \) находится в области \ (f \).

Важно понимать, что произведение функций \ (fg \) не то же самое, что композиция функций \ (f \ circ g \).

Пример \ (\ PageIndex {2} \): определение того, является ли композиция функций коммутативной

Используя указанные функции, найдите \ (f (g (x)) \) и \ (g (f (x)) \).2 + 2x-3 \ nonumber \]

Две новые функции не совпадают.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): интерпретация составных функций

Функция \ (c (s) \) дает количество сожженных калорий при выполнении \ (s \) приседаний, а \ (s (t) \) дает количество приседаний, которые человек может выполнить за \ ( t \) минут. Интерпретируйте \ (c (s (3)) \).

Решение

Внутреннее выражение в композиции — \ (s (3) \). Поскольку входными данными для функции \ (s \) является время, \ (t = 3 \) представляет 3 минуты, а \ (s (3) \) — количество приседаний, выполненных за 3 минуты.

Использование \ (s (3) \) в качестве входных данных для функции \ (c (s) \) дает нам количество калорий, сожженных во время количества приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты, или просто количество калорий, сожженных за 3 минуты (делая приседания).

Иногда две функции могут быть составлены только в одном определенном порядке. Диапазон внутренней функции (первой оцениваемой функции) должен находиться в пределах области внешней функции. Менее формально композиция должна иметь смысл с точки зрения входов и выходов.В математической модели это может быть очень важно. См. Пример \ (\ PageIndex {5} \).

Пример \ (\ PageIndex {5} \): Исследование порядка функциональной композиции

Предположим, что \ (f (x) \) дает мили, которые можно проехать за \ (x \) часов, а \ (g (y) \) дает галлоны бензина, использованные для движения \ (y \) миль. Какое из этих выражений имеет смысл: \ (f (g (y)) \) или \ (g (f (x)) \)?

Решение

Функция \ (y = f (x) \) — это функция, выходом которой является количество пройденных миль, соответствующее количеству пройденных часов.

\ [\ text {количество миль} = f (\ text {количество часов}) \ nonumber \]

Функция \ (g (y) \) — это функция, выходом которой является количество использованных галлонов, соответствующее количеству пройденных миль. Это означает:

\ [\ text {количество галлонов} = g (\ text {количество миль}) \ nonumber \]

Выражение \ (g (y) \) принимает мили в качестве входных данных и количество галлонов в качестве выходных данных. Функция \ (f (x) \) требует ввода количества часов. Пытаться ввести количество галлонов не имеет смысла.Выражение \ (f (g (y)) \) не имеет смысла.

Выражение \ (f (x) \) принимает часы в качестве входных данных и количество пройденных миль в качестве выходных данных. Функция \ (g (y) \) требует ввода количества миль. Использование \ (f (x) \) (пройденные мили) в качестве входного значения для \ (g (y) \), где галлоны бензина зависят от пройденных миль, имеет смысл. Выражение \ (g (f (x)) \) имеет смысл и даст количество использованных галлонов газа, \ (g \), проехав определенное количество миль, \ (f (x) \), в \ (x \) часов.

Существуют ли ситуации, когда \ (f (g (y)) \) и \ (g (f (x)) \) оба будут значимыми или полезными выражениями?

Да. Для многих чисто математических функций обе композиции имеют смысл, хотя обычно они создают разные новые функции. В реальных задачах функции, входы и выходы которых имеют одинаковые единицы, также могут давать композиции, значимые в любом порядке.

\ (\ PageIndex {2} \)

Гравитационная сила на планете на расстоянии \ (r \) от Солнца определяется функцией \ (G (r) \). Ускорение планеты, подверженной действию любой силы \ (F \), задается функцией \ (a (F) \).Сформируйте осмысленную композицию этих двух функций и объясните, что это означает.

Ответ

Гравитационная сила по-прежнему является силой, поэтому \ (a (G (r)) \) имеет смысл как ускорение планеты на расстоянии \ (r \) от Солнца (из-за силы тяжести), но \ (G (a (F)) \) не имеет смысла.

Оценка составных функций

После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, нам нужно иметь возможность оценивать ее для любого ввода в ее домене. Мы сделаем это с помощью конкретных числовых входных данных для функций, выраженных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул. В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции как ввод для внешней функции.

Оценка составных функций с помощью таблиц

При работе с функциями, заданными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу.Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем вывод внутренней функции в качестве ввода для внешней функции.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): Использование таблицы для вычисления составной функции

Используя таблицу \ (\ PageIndex {1} \), вычислите \ (f (g (3)) \) и \ (g (f (3)) \).

Решение

Чтобы оценить \ (f (g (3)) \), мы начинаем изнутри с входного значения 3. Затем мы вычисляем внутреннее выражение \ (g (3) \), используя таблицу, которая определяет функцию \ (g: g (3) = 2 \). Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции \ (f \), поэтому \ (g (3) \) заменяется на 2, и мы получаем \ (f (2) \). Затем, используя таблицу, определяющую функцию \ (f \), находим, что \ (f (2) = 8 \).

\ [г (3) = 2 \ nonumber \]

\ [f (g (3)) = f (2) = 8 \ nonumber \]

Чтобы вычислить \ (g (f (3)) \), мы сначала вычисляем внутреннее выражение \ (f (3) \), используя первую таблицу: \ (f (3) = 3 \).Затем, используя таблицу для \ (g \), мы можем оценить

\ [g (f (3)) = g (3) = 2 \ nonumber \]

Таблица \ (\ PageIndex {2} \) показывает составные функции \ (f {\ circ} g \) и \ (g {\ circ} f \) в виде таблиц.

\ (\ PageIndex {3} \)

Используя таблицу \ (\ PageIndex {1} \), вычислите \ (f (g (1)) \) и \ (g (f (4)) \).

Ответ

\ (f (g (1)) = f (3) = 3 \) и \ (g (f (4)) = g (1) = 3 \)

Оценка составных функций с помощью графиков

Когда нам дают отдельные функции в виде графиков, процедура оценки составных функций аналогична процессу, который мы используем для оценки таблиц. Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз с осей \ (x \) и \ (y \) — графиков.

Учитывая составную функцию и графики ее отдельных функций, оцените ее, используя информацию, предоставленную графиками

1. Найдите данный вход во внутренней функции на оси \ (x \) ее графика.
2. Считайте выходные данные внутренней функции с оси \ (y \) ее графика.
3. Расположите выходной сигнал внутренней функции на оси \ (x \) графика внешней функции.
4. Считайте вывод внешней функции по оси \ (y \) ее графика. Это результат составной функции.

Пример \ (\ PageIndex {7} \): использование графика для вычисления составной функции

Используя рисунок \ (\ PageIndex {3} \), оцените \ (f (g (1)) \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Два графика положительной параболы \ (y = g (x) \) и отрицательной параболы \ (y = f (x) \).

Решение

Чтобы оценить \ (f (g (1)) \), мы начнем с внутренней оценки. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Два графика положительной параболы \ (g (x) \) и отрицательной параболы \ (f (x) \). Построены следующие точки: \ (g (1) = 3 \) и \ (f (3) = 6 \).

Мы оцениваем \ (g (1) \), используя график \ (g (x) \), находя вход 1 на оси \ (x \) и находя выходное значение точки на графике в этот ввод. Здесь \ (g (1) = 3 \). Мы используем это значение как вход в функцию \ (f \).

\ [f (g (1)) = f (3) \ nonumber \]

Затем мы можем оценить составную функцию, посмотрев на график \ (f (x) \), найдя вход 3 на оси \ (x \) и прочитав выходное значение графика на этом входе. Здесь \ (f (3) = 6 \), поэтому \ (f (g (1)) = 6 \).

Анализ

На рисунке \ (\ PageIndex {5} \) показано, как мы можем пометить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения к выходному значению.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \) : Два графика положительной параболы \ (y = g (x) \) и отрицательной параболы \ (y = f (x) \).

Решение

\ (\ PageIndex {4} \)

Используя рисунок \ (\ PageIndex {3} \), вычислите \ (g (f (2)) \).

Ответ

\ (g (f (2)) = g (5) = 3 \)

Вычисление составных функций с помощью формул

При вычислении составной функции, в которой мы либо создали, либо получили формулы, правило работы изнутри остается неизменным. Входное значение внешней функции будет выходом внутренней функции, которая может быть числовым значением, именем переменной или более сложным выражением.

Хотя мы можем составлять функции для каждого отдельного входного значения, иногда бывает полезно найти единую формулу, которая будет вычислять результат композиции \ (f (g (x)) \). 2 − t \) и \ (h (x) = 3x + 2 \), вычислите \ (f (h (1)) \).2 − t \) и \ (h (x) = 3x + 2 \), оцениваем

а. \ (h (f (2)) \)
б. \ (h (f (−2)) \)

Ответ

а. \ (h (f (2)) = h (2) = 8 \)
б. \ (h (f (-2)) = h (6) = 20 \)

Нахождение области определения составной функции

Как мы обсуждали ранее, область сложной функции , такой как \ (f {\ circ} g \), зависит от области определения \ (g \) и области определения \ (f \). Важно знать, когда мы можем применить составную функцию, а когда нет; то есть знать область определения функции, такой как \ (f {\ circ} g \).Предположим, мы знаем области определения функций \ (f \) и \ (g \) по отдельности. Если мы запишем составную функцию для входа \ (x \) как \ (f (g (x)) \), мы сразу увидим, что \ (x \) должен быть членом области g, чтобы выражение должно иметь смысл, потому что в противном случае мы не сможем завершить оценку внутренней функции. Однако мы также видим, что \ (g (x) \) должен быть членом области \ (f \), в противном случае оценка внешней функции в \ (f (g (x)) \) не может быть завершена, и выражение все еще не определено.Таким образом, область \ (f {\ circ} g \) состоит только из тех входов в области \ (g \), которые производят выходы из \ (g \), принадлежащие области \ (f \). Обратите внимание, что область \ (f \), составленная из \ (g \), — это множество всех \ (x \) таких, что \ (x \) находится в области \ (g \) и \ (g (x ) \) находится в области \ (f \).

Определение: область составной функции

Область сложной функции \ (f (g (x)) \) — это набор тех входов \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g (x) \) находится в области \ (f \).

По заданной композиции функции \ (f (g (x)) \), определить ее область определения

1. Найдите домен \ (g \).
2. Найдите домен \ (f \).
3. Найдите те входы \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g (x) \) находится в области \ (f \). То есть исключить входные значения \ (x \) из области \ (g \), если \ (g (x) \) не находится в области \ (f \). Результирующий набор является областью определения \ (f \ circ g \).

Пример \ (\ PageIndex {9A} \): Нахождение домена составной функции, включающей коэффициенты

Найдите домен

\ [(f∘g) (x) \ text {где} f (x) = \ dfrac {5} {x − 1} \ text {and} g (x) = \ dfrac {4} {3x − 2 } \ nonumber \]

Решение

Область \ (g (x) \) состоит из всех действительных чисел, кроме \ (x = \ frac {2} {3} \), так как это входное значение заставит нас разделить на 0.Аналогично, область значений \ (f \) состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Поэтому нам нужно исключить из области определения \ (g (x) \) любое значение \ (x \), для которого \ (g (x ) = 1 \).

\ [\ begin {align *} \ dfrac {4} {3x-2} & = 1 \\ [5pt] 4 & = 3x-2 \\ [5pt] 6 & = 3x \\ [5pt] x & = 2 \ конец {выравнивание *} \]

Область определения \ (f {\ circ} g \) — это набор всех действительных чисел, кроме \ (\ frac {2} {3} \) и \ (2 \). Это означает, что

\ [x {\ neq} \ dfrac {2} {3} \ text {and} x \ neq2 \ nonumber \]

Мы можем записать это в интервальной записи как

\ [D = (- \ infty, \ dfrac {2} {3}) \ cup (\ dfrac {2} {3}, 2) \ cup (2, \ infty) \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {9B} \): поиск области составной функции, включающей радикалы

Найдите домен

\ [(f {\ circ} g) (x) \ text {где} f (x) = \ sqrt {x + 2} \ text {and} g (x) = \ sqrt {3 − x} \ nonumber \]

Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, область значений \ (g \) равна \ (\ left (- \ infty, 3 \ right] \).Составная функция —

\ [(f {\ circ} g) (x) = \ sqrt {\ sqrt {3 − x} +2}. \ nonumber \]

Опять же, поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, мы исключаем любые отрицательные числа в подкоренном выражении; таким образом, нам нужны только \ (x \) — значения такие, что \ (\ sqrt {3 − x} + 2≥0, \) или \ (\ sqrt {3-x} \ geq -2. \) Поскольку квадрат символ корня \ (\ sqrt {} \) определяется как неотрицательный квадратный корень числа, \ (\ sqrt {3 − x} \) всегда больше -2; следовательно, мы остаемся с ограничением на область определения \ (g \), что дает \ (f \ circ g \) область \ ((- ∞, 3] \).

Анализ

Этот пример показывает, что знание диапазона функций (в частности, внутренней функции) также может быть полезно при поиске области определения составной функции. Это также показывает, что область значений \ (f {\ circ} g \) может содержать значения, не входящие в область значений \ (f \), хотя они должны находиться в области \ (g \).

\ (\ PageIndex {6} \)

Найдите домен

\ [(f {\ circ} g) (x), \ text {где} f (x) = \ dfrac {1} {x − 2} \ text {и} g (x) = \ sqrt {x + 4} \ nonumber \]

Ответ

\ ([- 4,2) ∪ (2, ∞) \)

Разложение составной функции на ее составные функции

В некоторых случаях необходимо разложить сложную функцию. 2}, \; h (x) = \ dfrac {4} {3 − x} \)
\ (f = h {\ circ} g = h (g (x)) \)

Воспользуйтесь этими онлайн-ресурсами, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в комбинированных функциях.

Ключевое уравнение

• Составная функция \ ((f {\ circ} g) (x) = f (g (x)) \)

Ключевые понятия

• Мы можем выполнять алгебраические операции над функциями. См. Пример \ (\ PageIndex {1} \).
• Когда функции комбинируются, выход первой (внутренней) функции становится входом второй (внешней) функции.
• Функция, полученная путем объединения двух функций, является составной функцией.
• Порядок композиции функций необходимо учитывать при интерпретации значения составных функций. См. Примеры \ (\ PageIndex {4} \) и \ (\ PageIndex {5} \).
• Составная функция может быть оценена путем оценки внутренней функции с использованием заданного входного значения, а затем оценки внешней функции, принимающей в качестве входных данных выход внутренней функции.
• Составная функция может быть оценена из таблицы.См. Пример \ (\ PageIndex {6} \).
• Составную функцию можно оценить по графику. См. Пример \ (\ PageIndex {7} \).
• Составную функцию можно вычислить по формуле. См. Пример \ (\ PageIndex {8} \).
• Область составной функции состоит из тех входов в области внутренней функции, которые соответствуют выходам внутренней функции, которые находятся в области определения внешней функции. См. Примеры \ (\ PageIndex {9A} \) и \ (\ PageIndex {9B} \).
• Так же, как функции могут быть объединены в составную функцию, составные функции могут быть разложены на более простые функции.См. Пример \ (\ PageIndex {10} \).
• Функции часто можно разложить более чем одним способом.

Глоссарий

комбинированная функция

новая функция, образованная композицией функций, когда выход одной функции используется как вход другой

Состав функций

Помимо сложения, вычитания, умножения и деления, можно составить две функции. Композиция функции — это когда значение x заменяется функцией. Например, если p (x) = x ³ и q (x) = x — 1, композиция p с q будет:

p∘q = p (q (x)) = p (x − 1) = (x − 1) 3

Обозначение p∘q читается как «p, составленная из q». Это означает, что значение x заменяется на q (x) в функции p.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТАВА ФУНКЦИЙ


Состав функции p равен

(p∘q) (x) = p (q (x))

где область определения p∘q — это набор все x в области определения q такие, что q (x) находится в области определения p.


Давайте посмотрим на пару примеров.

Пример 1. Для p (x) = x ² -1 и q (x) = x + 3 найдите составную функцию и ее область определения (p∘q) (x) и (q∘p) (x ). Затем оцените (p∘q) (3).

Шаг 1: Найдите (p∘q) (x) и его домен.	(p∘q) (x) = p (q (x)) Def’n композиции. p (x + 3) = (x + 3) 2−1 Под. д (х) (p∘q) = x2 + 6x + 9−1 Упростить (p∘q) = x2 + 6x + 8 Область p (x) = x 2 — 1 — это набор всех действительных чисел. Область определения q (x) = x + 3 — это набор всех действительных чисел. Следовательно, область определения (p∘q) — это множество всех действительных чисел.
Шаг 2: Найдите (q∘p) (x) и его домен.	(q∘p) (x) = q (p (x)) Определение композиции. q (x2−1) = (x2−1) + 3Sub. р (х) (q∘p) = x2 + 2 Упростить Область определения q (x) = x + 3 — это набор всех действительных чисел. Область p (x) = x 2 — 1 — это набор всех действительных чисел. Следовательно, область определения (q∘p) — это множество всех действительных чисел.
Шаг 3. Вычислить (p∘q) (x), когда x = 3.	(p∘q) (x) = x2 + 6x + 8 (p∘q) (3) = 32 + 6 (3) + 8 = 35

Пример 2: для p (x) = 4x и q (x) = x ² найдите составную функцию и ее область определения (p∘q) (x) и (q∘p) (x) .Затем оцените (p∘q) (- 5).

Шаг 1: Найдите (p∘q) (x) и его домен.	(p∘q) (x) = p (q (x)) Def’n композиции. p (x2) = 4×2 Под. д (х) (p∘q) = 2x Упростить Область определения p (x) = 4x — это набор всех действительных чисел, таких что x≥0. Область определения q (x) = x 2 — это набор всех действительных чисел. Следовательно, область определения (p∘q) — это множество всех действительных чисел, таких что x≥0.
Шаг 2: Найдите (q∘p) (x) и его домен.	(q∘p) (x) = q (p (x)) Определение композиции. q (4x) = (4x) 2 Под. р (х) (q∘p) = 4x Упростить Область определения q (x) = x 2 — это набор всех действительных чисел. Область определения p (x) = 4x — это набор всех действительных чисел, таких что x≥0. Следовательно, область определения (p∘q) — это множество всех действительных чисел, таких что x≥0.
Шаг 3. Вычислить (q∘p) (x), когда x = -5.	(p∘q) (x) = 4x (p∘q) (- 5) = 4 (−5) = — 20

Обратные функции, Состав функций, Пример 3

Обратные функции, Состав функций, Пример 3

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

Состав функций

Предположим, что правило функции f (x) равно, а правило функции g (x) равно. Предположим теперь, что вы хотите «обойти» функции следующим образом: возьмите 2 в домене f и свяжите его с 9 правилом f (x), а затем возьмите 9 и свяжите его с 157 с помощью g (x ) правило. Это большая работа, и вы бы предпочли просто работать с одной функцией, функцией, которая свяжет 2 напрямую с 157.

Поскольку функция g работает с f (x), мы можем записать композицию как g (f (x)). Назовем новую функцию h (x) = g (f (x)). Вы можете упростить изнутри или снаружи внутрь.

Наизнанку:

Давайте проверим, свяжет ли вышеуказанная функция 2 напрямую с 157.

Есть.

Outside In:

Вы можете видеть, что это то же самое, что и функция, которую мы получили изнутри.

Ниже приведен пример нахождения композиции трех функций.

Пример 4: Даны три функции, и,

Найдите домен и диапазон каждой из трех функций.

Область определения функции f (x) — это множество всех действительных чисел, потому что f (x) — многочлен. Диапазон функции f (x) — это набор всех действительных чисел в интервале.

Область определения функции g (x) — это набор всех действительных чисел, больших 8. Диапазон функции g (x) — это набор всех действительных чисел, больших 0.

Область определения функции h (x) — это множество всех действительных чисел. Диапазон функции h (x) — это набор всех действительных чисел, больших или равных 0.

Найдите составную функцию f (g (h (x))).

Первый шаг — заменить h (x) на так, чтобы получилось

.

Имейте в виду, что композиция f и g не имеет смысла, если количество не является действительным числом. Следовательно, первое ограничение на область определения составной функции f (g (h (x))) состоит в том, что x должен принадлежать набору действительных чисел, определенному как

Второй шаг — заменить на, чтобы получилось

.

Имейте в виду, что для работы функции f количество должно быть действительным числом. Это значит, что . После добавления 8 к обеим сторонам и квадрату выражение можно записать. Это означает, что домен теперь дополнительно ограничен набором действительных чисел в наборе

.

Третий шаг в процессе — замена выражением.

Последнее выражение можно упростить, и это последнее выражение представляет собой составную функцию f (g (h (x))).

Какова область определения составной функции f (g (h (x)))?

Область составной функции — это набор чисел, общих для множеств и.Следовательно, область определения составной функции — это набор действительных чисел в интервале.

Давайте проверим наш ответ с числом в домене, скажем x = 10:

Функция h (x) связывает 10 с, функция g (x) связывает с 5.22045253642, а функция f (x) связывает 5.22045253542 с 31.25311246746. Давайте посмотрим, приведет ли новая функция прямо с 10 на 31.25311246746.

Да, и наша составная функция верна.

Что бы произошло, если бы мы попытались проверить нашу составную функцию с числом, не входящим в набор действительных чисел?

Допустим, мы попытались проверить с числом x = 3:

Функция h (x) связывает 3 с, функция g (x) связывает с Opps! Мнимое число. Нет ссылки. Это говорит о том, что число 3 не входит в состав составной функции. Вы могли бы обнаружить то же самое, если бы изобразили составную функцию.

Напомним, что иногда вы можете отличить область определения функции от ее графика, отметив, где находится график. Например, если никакая часть графика не расположена слева от оси Y, это означает, что в домене нет отрицательного числа.

Просмотрите еще один пример поиска состав функций.

[Назад] [Предыдущий пример] [Следующий] [Алгебра] [Тригонометрия] [Комплексные переменные] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Copyright 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

Фотографическая композиция по номерам | Creative Photographer

Обсуждения фотографической композиции часто основываются на идее размещения, то есть, где вы должны разместить в кадре главный объект или фокус фотографии. Но бывают случаи, когда у вас может быть два, три или даже больше фокусов, особенно в более сложных композициях. Это дает вам возможность создавать интересные и динамичные фотографии. Давайте посмотрим, как это работает.

Группы из трех человек и фотографическая композиция

Включение трех точек фокусировки на фотографию позволяет использовать два общих приемов композиции — создание треугольников и создание узора.

Треугольники в композиции

Треугольники добавляют динамичности композиции.Глаз зрителя перемещается между точками, следуя по сторонам треугольника, захватывая разные части кадра.

Фотография ниже — хороший тому пример. Я наткнулся на эту сцену в приморском городке на юге Чили. Мне понравились яркие цвета и то, как рыбак красил лодку.

Вы видели треугольник? Должен признаться, что не видел этого, когда делал фото, но это становится ясно, когда я смотрю на него сейчас.

В следующем примере группа из трех состоит из статуи в центре кадра и цветочных горшков по бокам. Они создают симметричный треугольник, переводящий взгляд с одной стороны кадра на другую.

Я сделал фото ниже, гуляя по городу на северо-западе Аргентины. На улице играли три девушки. Я спросил, могу ли я сфотографироваться, и они сказали да. Три грани образуют динамический треугольник, который побуждает глаз перемещаться по кадру от лица к лицу.

Группы по три и узор

Иногда группу из трех человек можно расположить в ряд, а не в треугольник.Это фото — хороший тому пример. Группа из трех становится шаблоном повторяющихся форм и форм.

Когда взгляд перемещается между объектами в группе, он создает своего рода ритм. Стрелки ниже показывают, как глаз движется по группе из трех человек.

На этом фото три красных цветка образуют другой узор. Этому вторит меньший зеленый цветок в левой части кадра, имеющий такую ​​же форму.

Пары и фотографическая композиция

Группы из двух фокусов или субъектов также интересны по составу.

Пары и симметрия

На трех фотографиях ниже показано, как пары могут составлять интересные симметричные композиции. На каждой фотографии есть два одинаковых или похожих объекта.

Симметрия интересна, когда она нарушена. Когда я сделал фотографию двух мячей Баодин, я поместил их в рамку так, чтобы шары располагались под углом, создавая диагональную линию, которая перемещается по кадру от нижнего левого угла к верхнему правому. Это добавляет к композиции динамический элемент.

На фотографии двух голов будды одна синяя, а другая красная. Это также нарушает симметрию и делает композицию более интересной. Это побуждает зрителя смотреть от одного к другому, сравнивать их и замечать различия.

Пары и контрапункты

Пара образует контрапункт, когда дает вам два разных фокуса, на которые можно смотреть. В любой фотографии с парой есть элемент контрапункта, потому что движение глаза между ними естественно.Но вы можете использовать его намеренно, чтобы глаз двигался по кадру.

На этом снимке пейзажа два маяка образуют контрапункт. Взгляд переходит от одного к другому. Это помогает создать ощущение глубины, потому что по разнице в размерах зритель может увидеть, что второй маяк находится дальше.

На этой фотографии улицы, сделанной в Пекине, изображен еще один контрапункт. Две женщины не знали друг друга и действовали независимо. Но их связывает сходство в действиях и позициях.

Большие группы и фотографическая композиция

Возможно, вы натолкнулись на что-то в композиции, называемое правилом шансов — идея о том, что включение группы, содержащей нечетное число субъектов, лучше, чем группа, содержащая четное число. Я знаю, что некоторым фотографам нравятся правила, поскольку они содержат простые инструкции, которым нужно следовать, но как концепция в этом нет особого достоинства.

Давайте посмотрим на пример. Сколько инструментов вы видите на этой фотографии?

Если посчитать точно, то их 16. Будет ли разница, если их будет 15 или 17? Я так не думаю. Важно только то, что есть группа инструментов, расположенных в ряд, образующих интересный узор.

Не имеет большого значения, четное или нечетное число в группе. Но это помогает создать более сильную композицию, если вы можете использовать форму, узор и ритм.

Я сделал фото ниже на уличном рынке в Уругвае. На рыночной прилавке есть пять половинок тыквы.

Трое в центре составляют группу из трех человек треугольной композиции.Если бы на фото не было других разрезанных пополам кабачков, получилась бы сильная композиция.

Взятые вместе, пять половинных тыкв образуют спираль, по которой взгляд проходит сквозь рамку.

Последнее фото, еще одно уличное фото, которое я сделал в Пекине, показывает группу из четырех человек. Они позировали другому фотографу, но забавно то, что пока трое из них смотрят на фотографа, девочка просто хотела поиграть со своей игрушкой. Четыре человека сгруппированы вместе, и в их расстановках есть ритм. Но это также показывает динамическое взаимодействие, которое происходит, когда вы собираете группы людей вместе. Контраст между действиями девушки и другими людьми делает фотографию более интересной.

Заключение

Группы объектов или людей предоставляют всевозможные интересные возможности, когда дело доходит до фотографической композиции. Это дает вам возможность исследовать закономерности, формы, симметрии и отношения между предметами. Это также поможет вам создать более интересную композицию, расположив фотографию таким образом, чтобы глаз двигался по кадру.

Дополнительная литература

Три — магическое число: Правило троек и состав

В этом месяце мы собираемся очень конкретно взглянуть на композицию и ее связь с числом 3.

К настоящему времени вы, возможно, уже знакомы с целым рядом композиционных особенностей, которые помогут вам создавать более привлекательные и визуально захватывающие изображения. Но то, о чем вы можете не знать, — это то, насколько какие-либо — если не все — из этих вспомогательных средств относятся к магическому числу — «3».

В этой статье мы подробно рассмотрим, где находится цифра 3 в ряде композиционных инструментов, от очень очевидного «правила троек» до более непонятных и сложных техник.

Почему «3»?

Для нас важно прежде всего понять, почему число 3 так важно, когда мы читаем изображение. Почему не 4, 5 или 6?

Это фундаментальный вопрос, и для ответа на него требуется немного познавательной науки. Когда распознавание сформировано, мозг часто группирует объекты.По сути, это способ дать нам возможность очень быстро организовать и понять то, что мы видим.

Объекты могут быть одинаковыми или разными. Они могут быть близко или далеко. Они могут даже быть смесью этих и многих других. В любом случае работа мозга — общаться и разбираться в них, и поэтому часто будет организовываться и распознаваться такие вещи, как симметрия, сходство и, конечно, даже числа.

Когда нам предлагают изображение, которое содержит 4 или более объекта, мозг может начать группироваться.Не только это, но и само изображение может начать загромождаться. Число 3 — это первое число, к которому мы можем прийти, при этом необязательно формировать группировку. Мы можем быстро уточнить количество объектов или предметов на изображении.

Его легко читать, считать и, как говорят, он приносит больше удовлетворения в целом ряде дисциплин, от рассказывания историй, юмора (в форме создания и выпуска) до образов.

Конечно, это правило можно нарушить и поиграть с ним, но по мере продолжения мы начнем понимать, почему, где и как часто появляется число 3 и влияет на целый ряд фотографических изображений.

Правило тройки

После вышеприведенного объяснения, вероятно, станет немного легче понять, почему правило троек является таким важным подспорьем в композиции. Приведенный здесь пример из сеанса уличной фотографии — очень очевидный пример того, почему правило может быть полезным. В этом случае объекты извлекаются из уличной среды и снимаются прямо.

Они располагаются прямо посередине кадра, а пространство вокруг них очень прямолинейно по отношению к краям кадра — здесь происходит много параллелей.Вдобавок к этому, три человека образуют очень приятную диагональ в кадре, так что существует реальное различие между окружающей средой и объектом.

Элемент юмора, задокументированный во вступительном объяснении, также очевиден здесь, поскольку эти три человека, кажется, спускаются от счастья к отчаянию!

Правило третей

Часто бывает, что правило трех недоступно. Мы не можем просто бродить в ожидании появления трех «чего-то», чтобы мы могли это выстрелить.Иногда это могут быть только два объекта или один объект, который вас заинтриговал. Вот тут и приходит на помощь правило третей.

Вместо того, чтобы объективировать три объекта, мы физически разделяем кадр на три по горизонтали и вертикали и используем это, чтобы поиграть с размещением объектов внутри.

Это не только компенсирует эту идею симметрии — что делает для нас немного более приятным сосредоточение на основном предмете — но также означает, что мы можем использовать отдельные или группы предметов и размещать их в одной области.

Будьте осторожны при использовании этого правила, так как, например, размещение объектов в противоположных третях кадра может означать, что двое борются друг против друга за внимание, и это может сделать довольно неудобное чтение изображения.

Треугольники и расстояние

Мы вкратце рассмотрели, как число 3 может повлиять на то, как мы читаем изображение, и как оно влияет на наше когнитивное восприятие вещей, но мы не коснулись использования треугольников в изображении.

Если бы мы возьмем 3 точки интереса, три объекта или любые три объекта на изображении и проведем линию, соединяющую их, у нас останется треугольник — конечно, исключение, если бы эти три элемента находились на прямой. линия.

Треугольники — еще один очень удобный инструмент для создания композиции, который больше всего помогает нам создавать ощущение расстояния, глубины и перспективы в наших изображениях.

Обычно это так называемые сходящиеся или ведущие линии. Сходящиеся линии — это две линии, которые встречаются в одной точке. Обычно точки горизонта становятся ближе друг к другу по мере того, как расстояние воспринимается на изображении, тогда как ведущие линии могут быть только одной из этих соединительных линий, которые направляют наш взгляд на изображение и к предмету.

Будь то от объекта или непосредственно от края кадра, эти линии всегда будут формировать этот треугольник и создавать ощущение расстояния, которое привлекает взгляд к изображению.

На изображении выше у нас есть пример треугольников и сходящихся линий в виде длинной травянистой области с правой стороны, начиная с переднего плана. Дорожка в траве создает ощущение расстояния до встречи двух точек.

С левой стороны у нас есть лучший пример ведущей линии — в виде зеленой линии — которая ведет взгляд слева направо, прежде чем исчезнуть там, где располагаются пилоны.Это само по себе формирует треугольник с левым краем кадра и дальней линией горизонта пейзажа.

Вы обнаружите, что использование треугольников в ваших изображениях будет намного сложнее реализовать там, где расстояние и перспектива не являются первоочередной задачей. На изображении здесь кромка воды и поза фотографа немного сложнее передать идею расстояния.

Вода спокойная и прозрачная, а угол немного завышен, чтобы создать текстурный интерес на переднем плане, который мы видели в примере с травянистым полем.Чтобы решить эту проблему, фотограф использует отражение и симметрию.

На вид плоское изображение с точкой фокусировки на некотором расстоянии внезапно становится довольно интересной композицией, поскольку отражение воды отражает формирование облаков, притягивает взгляд к телу суши, отражающемуся в центре кадра. Так что расстояние здесь не главное, но использование отражения превращает довольно скучную сцену в композиционно захватывающую и необычную.

Вот и все. Более подробный анализ того, насколько значимым может быть число 3 в вашей композиции.

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт